A járványos betegségek dinamikája garantált immunitás nélkül

Absztrakt

A súlyos akut légzőszervi szindróma koronavírus 2 (SARS-CoV-2) pandémiája a betegség terjedésének újszerű típusára utal. Itt azt az esetet vizsgáljuk, amikor a fertőzött ágensek felépülnek és csak akkor alakulnak ki immunitásuk, ha egy ideig folyamatosan fertőződnek τ. Nagy τ esetén a betegségmodellt statisztikai térelmélet írja le. Ezért a mögöttes térelmélet fázisai jellemzik a betegség dinamikáját: (i) egy pandémiás fázis és (ii) egy válaszrezsim. A statisztikai térelmélet felső korlátot ad a fertőzött ágensek csúcsarányának.

A légúti szindróma gyakori betegség, különösen a változó hőmérsékletű évszakokban. Az elmúlt években a különböző szennyező anyagok növekedésével a légúti szindróma előfordulása is megnőtt. Meg kell értenünk a légúti szindróma és az immunitás közötti kapcsolatot, és az immunitás fokozásával megelőzni és enyhíteni ezt a betegséget.

Az immunitás a szervezet első védelmi vonala a vírusok és baktériumok ellen. Ha a szervezet immunitása gyengül, az emberek fogékonyak a fertőzésekre, és légúti szindróma is előfordul. Ezért intézkedéseket kell hoznunk az immunitás erősítésére, ideértve az étrendre való odafigyelést, a mértékletes testmozgást és a jó hozzáállást.

Az étrend létfontosságú szerepet játszik az immunitás erősítésében. Több gyümölcs és zöldség fogyasztása pótolhatja a szervezet számára szükséges vitaminokat és nyomelemeket, ezáltal erősíti a szervezet immunitását. Ugyanakkor, ha kevesebbet eszünk, vagy nem eszünk túl sok fűszeres és zsíros ételt, bizonyos mértékig csökkenthetjük a szervezet terhelését és javíthatjuk az immunitást.

A mérsékelt testmozgás az immunitás erősítésének is hatékony módja. Nemcsak javíthatja a szervezet betegségekkel szembeni ellenálló képességét, hanem elősegítheti a szív- és érrendszer egészségét is. Azonban arra is figyelni kell, hogy a gyakorlatok mennyisége ne legyen túl nagy, különben az immunitás csökkenéséhez vezet.

A jó hozzáállás megőrzése szintén fontos tényező az immunitás erősítésében. Az érzelmileg stabil emberek nagyobb valószínűséggel tartják meg jó egészségüket, mert az érzelmi instabilitás a hormonok szekréciójának egyensúlyhiányához vezethet a szervezetben, ezáltal csökkentve a szervezet immunitását.

Röviden, az immunitás a légúti szindróma egyik kulcstényezője. Intézkedéseket kell tennünk immunitásunk erősítése érdekében, például a testmozgás erősítése, az étkezési szokások javítása, a jó hozzáállás megőrzése stb., amelyek megelőzhetik a légúti szindrómát és a légúti szindrómát is. Hatékonyan enyhítheti a tüneteket és javíthatja a kezelés hatását. Hiszem, hogy ezekkel az intézkedésekkel meg tudjuk őrizni erős testünket és egészségesen élhetünk. Ebből a szempontból javítanunk kell az immunitásunkat. A Cistanche jelentősen javíthatja az immunitást, mivel a húshamu különféle biológiailag aktív összetevőket tartalmaz, mint például poliszacharidok, két gomba, Huang Li, stb. Ezek az összetevők stimulálhatják az immunrendszert A rendszer különféle sejtjei, fokozzák immunaktivitásukat.

Kattintson a Cistanche egészségügyi előnyei

A hatékony védekezési stratégiának arra kell törekednie, hogy a betegség a válaszreakcióban maradjon (nincs „második hullám”). A modellt kvantitatív szinten tesztelik egy idealizált betegséghálózat segítségével. A modell kiválóan írja le a SARS-CoV-2 járvány terjedését a kínai Vuhan városában. Azt találtuk, hogy a kinyert szerek mindössze 30 százalékánál alakult ki immunitás.

Kulcsszavak:

Fertőző betegségek; Koronavírus; SARS-CoV-2; Numerikus szimuláció.

1. Bemutatkozás

Egy betegség gyors terjedése egy adott régióban vagy régiókban (járvány) vagy egy betegség globális kitörése (pandémia), lásd Porta [17], káros hatással lehet az egészségügyi rendszerekre, a helyi és globális gazdaságokra, beleértve a pénzügyi piacokat és a társadalmi-gazdasági interakciók, a várostól a nemzetközi szintig. A járvány terjedésének csökkentésére irányuló intézkedések közé tartozik a fertőzött és nem fertőzött népességrészek közötti interakciók csökkentése, valamint a fertőzőképesség vagy a lakosság fogékonyságának csökkentése, lásd például Ferguson et al. [5].

A kormányok két fő stratégiája a járvány kezelésére a járvány lelassítása (enyhítése) vagy a betegség terjedésének megszakítása (elnyomás). Mivel ezek a beavatkozások mindegyike jelentős kockázatot rejt magában a társadalmi és gazdasági jólétre nézve, kulcsfontosságú, hogy megértsük e stratégiák (vagy azok hibridjei) hatékonyságát.

A matematikai módszerek alapvető bemenetet biztosítanak a járvány megfékezését célzó kormányzati döntéshozatalhoz. Ezek közé tartoznak a statisztikai módszerek, Unkel et al. [22], Becker és Britton [2], determinisztikus állapottér modellek, Brauer et al. [3] a Kermack és munkatársai által kifejlesztett prototípussal. [12], és számos összetett hálózati modell, pl. Hwang et al. [10], Shirley és Rushton [19].

A különböző matematikai megközelítések céljai eltérőek: A statisztikai módszerek jelentős alkalmazása gyakran a betegségkitörések korai felismerését célozza, ahogyan azt Unkel et al. [22], míg a modellezés vagy egy adott járványra a lehető legrealisztikusabb modellt próbál kidolgozni, vagy egy leegyszerűsített modellt tervez, amely azonban feltár néhány univerzális igazságot a járvány dinamikájáról.

A legegyszerűbb változatban az úgynevezett kompartmentális modellek (lásd Kermack et al. [12], Hethcote [9]) a populáció azon részét veszik figyelembe, amely vagy fogékony (S), fertőzött (I), vagy eltávolított (R). a betegséghálózatból. A kapcsolt differenciálegyenletek rögzítik a betegség dinamikáját, amely meghatározza az S, I és R időfüggését. A kiterjesztések további részeket adnak a fogékony fertőzött eltávolított (SIR) modellhez, például (E) exponált.

Lekone és Finkenstädt [15] például a Kongói Demokratikus Köztársaságban 1995-ben kitört Ebola-járvány leírásához egy SEIR (Susceptible Exposed Infected Removed) modellt használtak. {3}} járványkitörés. A kiválasztott publikációk Giordano et al. [7], Krishna and Prakash [13], Tagliazucchi et al. [21], Lin et al. [16], Anastassopoulou et al. [1], Wu et al. [23]. Például Giordano et al. összesen 8 osztályt használ – fogékony (S), fertőzött (I), diagnosztizált (D), beteg (A), felismert (R), veszélyeztetett (T), gyógyult (H) és kihalt (E) – a betegség leírására. A 2019-es koronavírus-járvány (COVID{12}}) járvány Olaszországban.

A rekeszes modelleket Dureau et al. [4] a sztochasztikusan ismeretlen hatások, például a változó viselkedések rögzítésére. Kucharski és munkatársai nemrégiben ilyen modelleket használtak a vuhani COVID{1}}-járvány elemzésére. [14]. Proverbio et al. egy új kiterjesztett járvány SEIR modellt javasoltak, amely figyelembe veszi a különböző beavatkozások társadalmi-politikai osztályozását. [18] számos elnyomási megközelítés értékének felmérésére.

A kompartmentális modellek olyan globális mennyiségekkel foglalkoznak, mint például a fogékony egyedek hányada, és feltételezik, hogy a heurisztikus sebességegyenletek leírhatják a betegség dinamikáját. Erősen inhomogén (társadalmi) hálózat esetén, pl. különböző népsűrűségeket figyelembe véve, a fenti feltételezés nem mindig tűnik igazolhatónak. Ezekben az esetekben a térbeli betegségek terjedési mintázata sztochasztikus hálózati modellel írható le, ahol a szimuláció általános választása a Monte-Carlo szimuláció.

Ebben a cikkben a betegség dinamikáját vizsgáljuk, amelynél a betegség időtartama (súlyossága) a kitettség mértékétől függ. Egy elemi (társadalmi) hálózat segítségével olyan univerzális mechanizmusokat keresünk, amelyek leírják a világjárvány terjedését. Feltárjuk a kapcsolatot a statisztikai térelmélettel, lehetővé téve, hogy a kitörést a kritikai jelenségek eszközeivel jellemezzük. Megvitatjuk az eredményeknek a járvány megfékezését célzó politikákra gyakorolt ​​hatását, és lezárjuk a COVID{0}}-járványt Vuhanban, Hubei tartományban, Kínában.

2 Modellezés

2.1 A modell alapjai

Mindegyik a közösségi hálózat négy „szomszédjával” lép kapcsolatba. A betegség terjedését sztochasztikus folyamatként írják le. Minden egyes időlépésben (mondjuk „nap”) annak a valószínűsége, hogy egy egyén megfertőződik (vagy felépül), a szomszédok állapotától függ a közösségi hálózaton. Itt csak egy homogén hálózat egyszerű esetét vizsgáljuk négy szomszéddal minden helyszínen. Figyelembe vesszük az időszakos peremfeltételeket is, hogy minimalizáljuk az élhatásokat.

2.2 Immunitás

Két egymással szorosan összefüggő forgatókönyvet tanulmányozunk.

(i) Nincs mentesség. Minden egyén újrafertőzhető, és csak akkor tud felépülni, ha újra fogékony lesz (Susceptible Infected Susceptible (SIS) modell).

(ii) Az egyének újrafertőződhetnek és felépülhetnek. Csak ha az egyének τ egymást követő napig fertőzöttek maradnak, akkor tekinthetők immunisnak.

A (ii) esetben az immunrendszerű egyedek helyeit eltávolítják a betegséghálózatból.

2.3 A betegség dinamikája

Ha x a betegség hálózat helye, akkor minden lépésben az ux ∈ {0, 1} állapotot véletlenszerűen választjuk meg valószínűséggel

ahol xy egy elemi hivatkozás az x és y helyeket összekötő rácson, és ezért n a fertőzött szomszédok száma, és Nx =1 plusz exp{4 nx plusz 2h} a normalizálás. A h paraméter a betegség hálózaton kívüli elkapásának valószínűségéhez kapcsolódik. Ha a hálózaton belül senki sem fertőzött (nx=0, ∀x), annak p valószínűsége, hogy bármely egyén elkapja a betegséget, kapcsolódik h-hoz p=exp{2h} 1 plus exp{2h} .

A paraméter a betegség fertőzőképességét írja le. Annak a valószínűsége, hogy bármely egyén megfertőződik (UX=1), monoton módon növekszik 4 nx plusz 2 órával. A paraméter tehát azt írja le, hogy ez a valószínűség mennyire érzékeny az expozíciótól, azaz a fertőzött szomszédok nx számától.

Ha a rács N személyt (azaz helyszínt) tartalmaz, akkor egy egyszeri lépést befejezettnek mondunk, ha N véletlenszerűen kiválasztott helyet vettünk figyelembe a frissítéshez.

3 A világjárvány kritikus jelenségként terjedt el

3.1 A fertőzés csúcsaránya

A (ii) forgatókönyv egy járvány tipikus időbeli alakulását mutatja be, amikor a fertőzési ráta hosszú időn keresztül a nullához közelít, mivel a kórokozók gyógyulnak, és egyre több az immunis. Ezzel szemben az (i) forgatókönyv aszimptotikus állapotú, amely független a kezdeti állapottól, és a statisztikai térelmélet írja le. A zx=2ux – 1 változó változása után az aszimptotikus állapotot az Ising-modell Ising [11], Friedli és Velenik [6] partíciós függvénye írja le:

H=h plusz 4 , amely az Ising jól ismert partíciós függvénye z forog z külső H mágneses térben. Az (i) forgatókönyv betegségdinamikája megfelel az Ising-modellben található helyi frissítések Markov-láncának. a Markov-időt valós idejűnek azonosították.

Eltűnő külső H mező esetén a modell kritikus viselkedést mutat fázisátalakulás mellett a következőnél: {{0}} c=ln(1 plusz √2)/2 ≈ 0.44 . A > c rendezett fázisában egy kis p > 0 magvalószínűség a populáció 100 százalékához közeli fertőzési arányt vált ki. A modell a „pandémiás” fázisban van. < c esetén a modell a „válasz” fázisban van, azaz a fertőzési ráta a p magvalószínűségre reagál, de nem fordul elő járvány. Az aszimptotikus fertőzési arány Markov Chain Monte-Carlo (MCMC) módszerekkel számítható ki. Például fertőzött kórokozók nélkül (ux=0 vagy zx=–1) minden egyes időlépés (lásd 2. fejezet) létrehoz egy mintát a betegség terjedéséből. Minden betegségminta csak az előző naptól függ, és a napok sorrendje Markov-láncot alkot.

Egy idő után, amit a statisztikai fizikában „termalizációs időnek” neveznek, a napi fertőzési ráta az átlag, azaz az aszimptotikus arány körül ingadozni kezd. Az aszimptotikus arány független a szimuláció részleteitől, ha bizonyos MCMC feltételek teljesülnek.

Ezek közül az ergodicitás könnyen sérülhet a pandémiás fázisban az úgynevezett lokális frissítési algoritmusoknál, leginkább a Metropolis–Hastings-nél, a Hastingsnél [8]. Itt a legkorszerűbb Swendsen–Wang klaszter algoritmust használtuk, amely mindkét fázisban jól teljesít, lásd Swendsen és Wang [20]. Számszerű eredményeinket az 1. ábra bal oldali panelje foglalja össze. A (2) görbe elválasztja mindkét fázist – a pandémiás fázist és a válaszreakciót.

3.2 Immunitás

Vizsgáljuk meg most a (ii) forgatókönyvet, ahol az egyének immunitást alakíthatnak ki, ha τ egymást követő napon keresztül fertőződnek. τ > tth esetén a fertőzés csúcsaránya a megfelelő modell (i) aszimptotikus állapotának felel meg, és így örökli a „pandémiás” vagy „válasz” fázis besorolását. Ezt szemlélteti az 1. ábra, a jobb oldali panel, a pandémiás fázisra több τ érték esetén. A 2. ábra szemlélteti a betegség terjedésének nagymértékben eltérő viselkedését a pandémiás szakaszban (= 0,41, p=5 százalék) és a válaszreakciót (= 0,38, p {{7}). } százalék ). Az eredmények N=100 × 100 hálózatra és τ=11-re vonatkoznak. Megjegyzendő, hogy a 'fertőzött plusz immunis' ('háromszög' szimbólum) görbéje a pandémiás fázisban nem növekszik monoton módon az idő múlásával, mivel a fertőzött egyedek visszatérhetnek "fogékony" állapotba, azaz nem minden fertőzött egyén válik immunissá. Vegye figyelembe, hogy a válaszrezsimben („kör” és „négyzet” szimbólum) a „pándemikus” csúcs teljesen hiányzik. A negatív oldal azonban az úgynevezett „csordaimmunitás” lassan fejlődik ki az idő múlásával.

3.3 Összehasonlítás az adatokkal

Hangsúlyozzuk, hogy a „négy szomszédos” homogén (társadalmi) hálózat modellfeltevés irreális. Egy heterogén betegséghálózat vizsgálata folyamatban van. Az alapbetegség hálózatának ismerete elengedhetetlen a kvantitatív előrejelzésekhez, pl. a fertőzőképesség c kritikus értékéhez. Itt egy másik megközelítést alkalmazunk: feltételezzük, hogy a tömeges mennyiségek, például a fertőzött egyedek hányadának minőségi időbeli alakulása a (ii) modell forgatókönyvének hatókörén belül van, és ezeket illesztési függvényekként használjuk a modellparaméterek, például , p és τ a tényleges adatokkal összehasonlítva. Ehhez a tanulmányhoz a 2020-ban a kínai Hubei tartományban, a kínai Hubei tartományban található Vuhan városában, Yuban [24] kitört COVID{0}}-járvány adatait használtuk fel (2020. április 16-án). A fertőzöttek számának adatai a 73. napon (tetszőleges időskálán) 40 százalékos ugrást mutatnak, ami a jelentésekben bekövetkezett változásnak köszönhető.
Feltételezzük, hogy ugyanaz az „aluljelentés” történt a napokban. Attól a ténytől vezérelve, hogy a valószínűségi eloszlás (a fertőzöttek aránya) egy folytonos függvény, az adatokat úgy javítottuk ki, hogy a fertőzöttek (és a fertőzöttek plusz a felépültek) számát megszoroztuk 1,4-szeresével, ha t kisebb vagy egyenlő, mint 73. Legyen D(t, τ, , p) a fertőzött egyedek populációjának hányada a t idő függvényében, és a τ (az immunitás kialakulásának ideje), (fertőzőképesség) és p (mag valószínűsége) paraméterektől függően fertőzött. Kiszámoltuk D(t, τ, , p)-t egy N=250 × 250 rács segítségével. Ellenőriztük, hogy az eredmény független-e a rácsmérettől a vizsgálat szempontjából releváns paraméterek százalékos tartományában. Ha Dwuhan(t) számszerűsíti a mért értékeket a vuhani járványban fertőzöttek számára, akkor közelíteni akarjuk ezeket az adatokat, azaz

Dwuhan(t) ≈ NpopD(t – ts, τ , , p)

az Npop, ts, , és p. paraméterek megfelelő megválasztásával. Mivel a vuhani adatokban az időtengely eltolása tetszőleges, az eltolódást úgy választottuk, hogy a szimulált adatok és a mért adatok csúcsai egybeesjenek. Az összes többi paramétert illeszkedési paraméterként kezeljük. Ezeket a paramétereket úgy kaptuk meg, hogy a modellt csak a fertőzött adatokra illesztettük. Összességében Npop ≈ 68k, ts ≈ 50, τ ≈ 21, ≈ 0,48, p ≈ 3,3 százalék.

A „gyógyult plusz fertőzött” és „immunis” eredmények ezután modell-előrejelzések. Az előbbi összehasonlítható a tényleges adatokkal, hogy felmérjük a modell életképességét.

A modelladatok túlszárnyalják a járvány terjedésének korai napjaiban elért adatokat, ami a korlátozott tesztelési képességek miatti aluljelentéshez vezethet. Érdekes megfigyelni, hogy a fertőzési ráta görbéje aszimmetrikus: a kezdeti emelkedés meredeksége nagyobb, mint a maximum utáni csökkenés meredeksége. Emellett úgy tűnik, hogy a fertőzöttek száma nem nulla értékkel egyenlő. A jelen modellben ezt a következőképpen magyarázzuk: ha több ágens immunis, az érzékeny ágensek nehezebben tudnak folyamatosan fertőződni a τ-nál nagyobb vagy egyenlő ideig, és így immunitást kialakítani. Azt is tapasztaljuk, hogy a fertőzöttek (és felépültek) csak körülbelül 30 százalékánál alakul ki immunitás.

4 Következtetések és értelmezések

Egy új típusú sztochasztikus betegségmodellt javasolnak: a kórokozók felépülhetnek a fertőzésből, és újra fogékonyak. Csak akkor alakul ki immunitásuk, ha fertőzésük tovább tart, mint egy jellemző τ idő. τ → ∞ esetén a fertőzési arányt statisztikai térelmélet írja le. Véges τ esetén a mezőelmélet fertőzési rátája adja meg a dinamikus modell fertőzési arányának felső korlátját. Ez lehetőséget ad a betegség dinamikájának jellemzésére a mögöttes térelmélet kritikus jelenségeinek tükrében: a pandémiás terjedés a terepelmélet rendezett fázisának felel meg, a fertőzőképesség kritikus értéke pedig a fázisátalakulásé. A betegség kontrollálható válaszmódban van, ha a megfelelő térelmélet a rendezetlen fázisban van.

A fertőzöttek számának csökkenésének súlyos, nem nulla értékre kiegyenlítő farka a modell velejárója, és arra vezethető vissza, hogy a kórokozók újrafertőzhetők. Az immunágensek jelentős részét tartalmazó hálózatban egyre nagyobb kihívást jelent az immunitás kialakítása. Ha ezeket a modellfeltevéseket orvosi vizsgálatok támasztják alá, nehéz lenne a „csordaimmunitást” elérni. Ennek befolyásolnia kell a döntést, hogy az erőfeszítések milyen mértékben összpontosítanak gyógymód vagy vakcina kifejlesztésére.

Köszönetnyilvánítás

Köszönöm Lorenz von Smekalnak (Giessen) a vitákat és a kézirattal kapcsolatos hasznos megjegyzéseket. Hálás vagyok Paul Martinnak (Leeds) a projekt korai szakaszában folytatott érdekes megbeszélésekért.

Finanszírozás

A projekt nem kapott külső támogatást.

Rövidítések

SARS-CoV-2, súlyos akut légzőszervi szindróma, koronavírus 2; COVID-19, koronavírus-betegség 2019; SIS-modell, Fogékony fertőzött Fogékony modell; SIR modell, Fogékony fertőzött Eltávolított modell; SEIR modell, Érzékeny Exposed Infected Eltávolított modell; MCMC, Markov-lánc Monte-Carlo.

Az adatok és anyagok elérhetősége

A vuhani járvány elemzéséhez használt adatok nyilvánosan elérhetők Yu-tól [24] (2020. április 16-án) vagy kérésre a szerzőtől.

Versengő érdekek

A szerző kijelenti, hogy nincsenek egymással versengő érdekeik.

A szerzők hozzászólásai

A kéziratnak egyetlen szerzője van. Minden hozzászólás ettől a szerzőtől származik. A szerző elolvasta és jóváhagyta a végső kéziratot.

A szerzők információi

Kurt Langfeld az elméleti fizika professzora és a Matematikai Iskola vezetője a Leedsi Egyetemen (Egyesült Királyság). Fő szakterülete a kvantumtérelméletek és a statisztikai fizika szimulációjának numerikus módszerei. Ph.D fokozatot kapott. 1991-ben elméleti fizikából a Müncheni Műszaki Egyetemen. 1991 és 2006 között a németországi Tübingeni Egyetemen dolgozott kutatóként és oktatóként. Távolságai alatt részesült a nemzetközi intézményekben tett kutatólátogatásokban: egy évet a párizsi CEA-ban, Saclay-ben, DFG kutatási ösztöndíjjal töltött, és kétszer meghívták vendégprofesszornak a dél-koreai szöuli KIAS-ba. 1999-ben megszerezte a "habilitációt", és megkapta a Venia Legendi díjat.

2005-ben a Tübingeni Egyetem elméleti fizika professzora lett. Kutatásai révén 2006-ban a Plymouth Egyetemre (Egyesült Királyság), majd 2016-ban a Liverpooli Egyetemre került professzorként és a Matematikai Tudományok Tanszékének vezetőjévé, mielőtt Leedsben elkezdett dolgozni. A Mérnöki és Fizikai Tudományok Kutatási Tanácsának (EPSRC), az Austrian Council FWF-nek és a Svájci Nemzeti Szuperszámítási Központnak (CSCS) lektoraként dolgozott. Rendszeresen felülvizsgálja a nagy horderejű részecskefizikai folyóiratokba beküldött kéziratokat, és több mint 100 közleményt publikált ezekben a folyóiratokban.

Kiadói megjegyzés

A Springer Nature semleges marad a közzétett térképeken szereplő joghatósági igényeket és az intézményi kapcsolatokat illetően.

Hivatkozások

Anastassopoulou C, Russo L, Tsakris A, Settos C. A COVID{1}} járvány kitörésének adatalapú elemzése, modellezése és előrejelzése. PLoS ONE. 2020;15:e0230405. https://journals.plos.org/plosone/article/metrics?id=10.1371/journal.pone. 0230405. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0230405.

2. Becker NG, Britton T. Statisztikai vizsgálatok a fertőző betegségek előfordulásáról. JR Stat Soc, Ser B, Stat Methodol. 1999;61(2):287–307. https://doi.org/10.1111/1467-9868.00177.

3. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. Matematikai modellek az epidemiológiában. Berlin: Springer; 2019.

4. Dureau J, Kalogeropoulos K, Baguelin M. Egy járvány időben változó mozgatórugóinak rögzítése sztochasztikus dinamikus rendszerek segítségével. Biostatisztika. 2013;14(3):541–55. https://doi.org/10.1093/biostatistics/kxs052.

5. Ferguson NM, Cummings DAT, Cauchemez S, Fraser C, Riley S, Meeyai A, Iamsirithaworn S, Burke DS. Stratégiák a kialakulóban lévő influenzajárvány megfékezésére Délkelet-Ázsiában. Természet. 2005;437(7056):209–14. https://doi.org/10.1038/nature04017.

6. Friedli S, Velenik Y. Rácsrendszerek statisztikai mechanikája: konkrét matematikai bevezetés. Cambridge: Cambridge University Press; 2017. https://doi.org/10.1017/9781316882603. ,

7. Giordano G, Blanchini F, Bruno R et al. A COVID{1}} járvány modellezése és a lakosság egészére kiterjedő beavatkozások végrehajtása Olaszországban. Nat Med. 2020;26:855–60. https://www.nature.com/articles/s41591-020-0883-7. https://doi.org/10.1038/s{10}}.

For more information:1950477648nn@gmail.com