Schröder módszerének memorizálása, mint hatékony stratégia az ismeretlen sokféleség gyökereinek becslésére

Absztrakt:

Ebben a cikkben a legjobb tudásunk szerint az első iteratív sémát javasoljuk memóriával olyan gyökerek megtalálására, amelyek sokfélesége ismeretlen a szakirodalomban. Javítja egy hasonló, memória nélküli eljárás hatékonyságát Schrödernek köszönhetően, és magnak tekinthető a hasonló tulajdonságokkal rendelkező magasabb rendű módszerek előállításához. A konvergencia sorrendjének tanulmányozása után stabilitását elemezzük, megmutatva jó tulajdonságait, és numerikusan összehasonlítjuk vonzási medencéik szempontjából hasonló, memória nélküli, több gyökér megtalálására szolgáló sémákkal.

Az emlékezet az emberi intelligencia fontos része, és elengedhetetlen az emberi tanuláshoz, gondolkodáshoz, alkotáshoz és élethez. Sokan azonban úgy találják, hogy a memóriájuk nem elegendő, és gyakran elfelejtenek fontos dolgokat. A memória minősége szorosan összefügg a memória iterációjával.

A memória úgynevezett iterációja az emlékezet folyamatos erősítésére és megszilárdítására utal egy bizonyos tudáspont vagy készség ismételt elsajátítása során, és végül átalakul hosszú távú memóriává. Ez a folyamat nemcsak az emlékek megszilárdítását segíti elő, hanem javítja azok mennyiségét és minőségét is.

Szóval, hogyan lehet jól iterálni a memóriát? Először is meg kell érteni a tanulási tartalmat. Csak a mély megértéssel lehet a tudást igazán bevésni az elmébe, és elkerülni a felejtést. Másodszor, folytassa az áttekintést. A tanult ismeretek többszöri áttekintése segíti az agyat, hogy elmélyítse a tudásfelismerés, érvelés és megértés benyomását, ezáltal javítva a hosszú távú memóriát. Végül használjon különféle módszereket a memória ismétlésének elősegítésére. Például elmélyültebbé teheti a memóriáját gondolattérképek készítésével, újramesélésekkel stb.

Röviden, az iteratív memória összetett és fontos folyamat, amely folyamatos erőfeszítést és kitartást igényel. Csak az iteratív emlékezet életformaként való kezelésével és a mindennapi tanulás, munka és élet minden aspektusába történő integrálásával tudjuk folyamatosan fejleszteni memóriánkat, képesek vagyunk jobban megbirkózni az összetett tanulási és munka kihívásaival, és új személyes stílust mutathatunk be. A hústészta egy hagyományos kínai gyógyászati ​​anyag, amelynek számos egyedi hatása van, amelyek közül az egyik a memória javítása. A darált hús hatékonysága a benne található különféle hatóanyagoknak köszönhető, beleértve a karbonsavat, poliszacharidokat, flavonoidokat stb. Ezek az összetevők különféle csatornákon keresztül elősegíthetik az agy egészségét.

Kattintson a Tudjon meg 10 módszerre a memória javítására

Kulcsszavak:

Nemlineáris egyenletek; iteratív módszerek memóriával; több gyökér; származékmentes; hatékonyság; stabilitás.

1. Bemutatkozás

A szakirodalomban (lásd például az [1–8] hivatkozást) számos memória nélküli iteratív módszer létezik, amelyek származékokat is tartalmaznak vagy nem, és amelyek az f(x)=0 nemlineáris egyenlet többszörös gyökének becslésére szolgálnak, de legtöbbjüknek szüksége van e gyökök m sokféleségének ismeretére.

Köztudott, hogy a Schröder-módszer [9]:

mivel valódi paraméter, lépésenként 4 függvényértékelést igényel, és már nem derivatívamentes. Ez a Traub-Steffensen-módszer a g-n túl drága, és nincs továbbgondolva.

A Schröder-séma fő előnye, hogy független a nemlineáris függvény multiplicitásának ismeretétől, szemben a módosított Newton-módszerrel, amely több gyökérre vonatkozik.

ahol m a multiplicitása, amelyet ebben az esetben ismerni kell. Ez a séma is Schrödernek köszönhető (lásd még [9] hivatkozást), és SM2-vel jelöljük. Ez a séma másodrendű konvergens, és ezért optimális a Kung-Traub sejtés értelmében (mivel iterációnként két új funkcionális kiértékelést használ; lásd [10] hivatkozás). Ehhez azonban szüksége van a multiplicitás ismeretére, míg az SM1 nem használja; ennek ellenére az SM1 séma fő hátránya az alacsony hatékonyság, mivel iterációnként három nemlineáris függvényt (f(x), f 0 (x) és f 00(x)) kell kiértékelnie.

Célunk ebben a kéziratban kettős: az egyik oldalról az SM1 séma hatékonyságát szeretnénk növelni, megtartva azt a képességét, hogy az m multiplicitás több gyökét megtalálja m ismerete nélkül, a másik oldalról pedig ugyanabban az algoritmusban kombináljon. több gyökér megtalálásának képessége egynél több korábbi iteráció használatával. Tehát egy iteratív sémát javasolunk memóriával az ismeretlen multiplicitás több gyökerének becslésére. Tudomásunk szerint a szakirodalomban nincs olyan iteratív eljárás, amely kielégítené ezeket a tulajdonságokat.

A javasolt séma konvergenciájának elemzése során néhány szempontot figyelembe kell venni, mivel ez egy iteratív, memóriával rendelkező módszer, így figyelembe kell venni a több korábbi iteráció hibáját, és az m gyök többszörössége is kulcselem kell, hogy legyen. a demonstrációról, bár konkrét értéke nem ismert. Ezzel kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy f (q) ( ) {{0}} q=1, 2, . . . , m − 1 és f (m) ( ) 6= 0. Tehát az iteratív kifejezésben megjelenő f és f 0 körüli Taylor-kiterjesztésnek figyelembe kell vennie ezt az információt.

Másrészt, mivel a javasolt sémánk egy iteratív eljárás, amely három előző iterációt használ a következő kiszámításához, szükséges a hibaegyenletet a megfelelő hibájukkal kifejezni, és ebből következtetni a konvergencia sorrendjére. Ezt Ortega és Rheinboldt [11] klasszikus eredménye alapján készítettem el, amelyet az alábbiakban mutatunk be.

1. Tétel. Legyen ψ egy iteratív módszer memóriával, amely a gyökhöz közelítő {xk} sorozatot generál, és ez a sorozat konvergáljon -hoz. Ha létezik nullától eltérő η állandó és ti pozitív számok, i=0, 1, . . . , m, olyan, hogy az egyenlőtlenség

Ebben a kéziratban a 2. szakasz a javasolt származékmentes iterációs módszer megtervezésének és konvergenciaelemzésének szenteljük a memóriával több gyökér megtalálását lehetővé tevő (sokszorosságának ismerete nélkül). A 3. részben a stabilitását elemzik, hogy levonják a kezdeti becslésektől való függését mind az egyszerű, mind a többszörös gyökér esetében. A 4. szakaszban a módszer numerikus teljesítményét számos vizsgált tesztfüggvényen ellenőrizzük, valamint a hozzájuk tartozó vonzási medencéket, összehasonlítva a meglévő Schröder-módszerekkel.

2. Tervezés és konvergencia elemzés

Kiindulópontunk a Traub [12] miatti memóriával rendelkező derivált-mentes séma,

Ennek a sémának az a fő előnye, hogy képes egy nemlineáris függvény egyszerű és többszörös gyökereit megtalálni a multiplicitás ismerete nélkül, az SM1-nél jobb hatékonysággal. Természetesen az Ostrowski-féle hatékonysági indexet [13] használva az ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 alacsonyabb, mint az IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, ahol minden I indexet p 1 d értékkel számítunk ki p értékkel. a módszer konvergenciájának sorrendje, és d az új funkcionális kiértékelések száma iterációnként.

A következő részben ennek a sémának a dinamikus elemzését végezzük, hogy megmutassa minőségi teljesítményét egyszerű és többszörös gyökereken. Mivel ez egy iteratív módszer a memóriával, ezért többdimenziós valós dinamikát kell használni.

3. A javasolt iteratív módszerek kvalitatív vizsgálata több gyökér memóriával

Jegyezzük meg, hogy módszerünk három korábbi iterációt használ a következő létrehozásához; ezért általánosságban kifejezhető a

ahol x0, x−1 és x−2 a kezdeti becslések. A [14] hivatkozásban definiált eljárás segítségével ez a módszer diszkrét valós többdimenziós dinamikus rendszerként írható le, és minőségi viselkedése elemezhető.

A dinamikus rendszer minőségi teljesítménye kulcsfontosságú eleme a fix pontjaik jellemzésében, a stabilitás szempontjából. 1 SF Υ fix pontjainak kiszámításához egy M segédvektoros függvényt definiálhatunk: R3 −→ R3, amely 1 SF Υ-hez kapcsolódik, a következő felhasználásokkal:

Sőt, ha létezik az M{{0}} Jacobi-mátrixnak egy x ∗ fix pontban kiértékelt λi sajátértéke, amely kielégíti |λi|< 1 és egy másik λj úgy, hogy |λj|> 1, akkor x ∗ nyereg fixpontnak nevezzük. A fogalom kiterjesztéseként az egydimenziós dinamikában, ha M0 (x ∗ ) sajátértékei kielégítik |λj |=0 j összes értékére=1, 2, . . . , m, akkor az x ∗ fix pont nem csak vonz, hanem szupervonzó is. Ezért a módszer másodfokú konvergenciával rendelkezik, legalábbis azon nemlineáris függvények osztályán, amelyek a racionális függvényt származtatják (lásd a [12] hivatkozást).

Ha x ∗-t M vonzási fix pontjának tekintjük, az A(x ∗ ) vonzási medencéjét tetszőleges rendű előképek halmazaként határozzuk meg.

A többgyökű nemlineáris egyenletek megoldására tervezett különféle iteratív sémák minőségi teljesítményét különböző szerzők tanulmányozták (lásd például a [17–19] hivatkozást). Ez diszkrét komplex dinamika felhasználásával készült, mivel ezek a sémák mindegyike memória nélküli. Ezekben a vizsgálatokban arra a következtetésre jutottak, hogy amikor egy iteratív (memória nélküli) módszer több gyökér megtalálására egy nemlineáris függvényre hat egyszerű és többszörös gyökérrel is, akkor teljesen általános, hogy az egyszerű gyökök vonzási medencéi szűkebbek, mint amelyek több gyökerűek. Valójában ezek az egyszerű gyökök meghatározhatják a racionális függvény fix pontjait, amelyek taszítóak. Ezért az iteratív módszernek csak több gyökeret kell találnia.

A következő kvalitatív elemzést p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m 1-nél nagyobb vagy egyenlő, így a séma képes megtalálni mind az egyszerű, mind a több gyököt (m multiplicitással) tesztelünk.

Az elemzési eredmények megjelenítéséhez nagyon hasznos eszköz a rendszer dinamikus síkja, amely különböző vonzási medencékből áll. Itt a javasolt gTM módszer dinamikus síkját úgy építjük fel, hogy kiszámítjuk egy 800 × 800 kezdőpontból álló háló pályáját (z, x) a kiindulási rácsban rögzített w értékhez. Mivel az iteratív sémákat három kezdeti becsléssel kell indítani, létrehozunk egy dinamikus síkok hálóját, amelyek mindegyike fix w értékkel rendelkezik a [−1,75, 1,75] intervallumban. Ezeken a fázisportrékon a háló minden egyes pontja más-más színűre (jelen esetben narancssárga és zöld) van festve, attól függően, hogy melyik attraktorhoz konvergál (fehér csillagként jelölve), 10-3 tűréssel. Ezenkívül feketén jelennek meg, ha a pálya legfeljebb 500 iteráció alatt nem ért el egyetlen vonzó fix pontot sem. Mivel a w rögzített értéke megváltozik a [−1,75, 1,75]-hez tartozó értékvektorban, így minden egyes multiplicitáshoz egy alakzat összetételét kapja, ami egyfajta kontúrdiagramot eredményez.

Az 1. ábrán a gTM séma teljesítményét mutatjuk be p(x), vagyis a racionális TM operátor egyszerű gyökök esetén. Megfigyelve a viselkedést a különböző diagramoknál, ahol az első három iteráció mindegyike változott a [−2, 2]-ben, észrevehető a stabil megvalósíthatóság. A gyökerek vonzási medencéi az egyedüliek; szélesek, és az egyetlen eltérő teljesítmény (a medencék közötti határ egyszerűsége szempontjából jobb, mint mások) a w=0 eset, ahol a racionális függvény egyszerűsödik. Minden esetben megfigyelhető, hogy a gTM módszer egyetlen lehetséges viselkedése a gyökerekhez való konvergencia.

Másrészt a 2. ábrán nagyon hasonló teljesítményt mutatunk be, amikor az egyik gyökér dupla, a másik pedig egyszerű. A vonzás medencéi ugyanolyan szélesek, és ez a viselkedés nagyon hasonló, ha más sokféleséget vizsgáltunk. Ráadásul ebben az esetben látható, hogy csak a gyökerekhez való konvergencia van, mivel a sötétebb területeken csak lassabb a konvergencia, a vonzási medencék határának összetettebbsége miatt.

4. Numerikus teljesítmény- és dinamikai tesztek

Ebben a részben három módszert hasonlítunk össze, nevezetesen az SM2-t (amely a multiplicitás ismeretét igényli), az SM1-et és a gTM-et (Traub módszeréből származik). Az utolsó két módszer nem igényli a multiplicitás ismeretét, viszont iterációs lépésenként extra funkcionális kiértékelést igényel (SM1 esetén három, gTM esetén kettő).

A módszereket minőségileg a vonzási számok medencéin keresztül és mennyiségileg is több mérőszámmal hasonlítják össze. Ezek a mértékek a CPU futási ideje a metódus futtatásához az origó közepén lévő 6x6 négyzet pontjain. A négyzetet egyenletes eloszlású vízszintes és függőleges vonalakkal osztottuk fel, és minden metszéspontot vettünk kezdeti pontnak az iteratív folyamathoz.

A TM-hez, egy memóriával rendelkező metódushoz további két kiindulási pontot kellett vennünk: x−1=x0 + d és x−2=x0 + 2d, ahol d a a sorok távolsága. A kód által összegyűjtött másik kritérium a pontonkénti iterációk átlagos száma (AIPP), de mivel a módszerek lépésenként eltérő számú funkcionális kiértékelést igényelnek, ezért a pontonkénti függvények átlagos számát (AFPP) vettük. A harmadik kritérium a divergens pontok száma (DP), amely azon pontok száma, amelyeknél a módszer nem konvergált 40 iterációban 10−7 tűréssel.

A 3. ábra alapján jól látható, hogy az SM1 és SM2 hasonló medencékkel rendelkezik, a gTM-nek pedig több lebenye van a két medence határán. A 4. ábrán látható, hogy a gTM jobb, mint az SM1. A következő 3 ábrán a gTM a legjobb, szélesebb vonzási medencékkel és szűkebb fekete területekkel, amelyek nem konvergensek a gyökerekhez. Ez a teljesítmény még az f5 nem polinomiális függvénynél is megmarad. Ráadásul a 8. ábrán észrevehető, hogy az SM2 módszer vonzási medencéi szélesebbek, mint a mi gTM módszerünk.

Most az 1–3. táblázat adataira hivatkozunk. A CPU futási ideje másodpercben a 2. táblázatban látható. Az SM2 folyamatosan gyorsabb, mint a többi. Ha a multiplicitás nem ismert, akkor a gTM gyorsabb, mint az SM1, kivéve az első példát. A gTM átlagosan gyorsabb, mint az SM1.

A függvényértékelések átlagos száma pontonként (lásd a 2. táblázatot) az SM1 esetében a legmagasabb az összes példa esetében. Vegye figyelembe, hogy az utolsó példa a legnehezebb minden módszer esetében. Az eltérő pontok száma a legalacsonyabb a gTM esetében az 1., 3. és 4. példában. Az SM1 rendelkezik a legtöbb eltéréssel az első 6 példában, de az utolsó példában a gTM gyengén teljesített, és összességében harmadik lett. Átlagosan az SM2 módszer volt a legjobb a 3 kategóriában, majd a gTM 2 kategóriában.

5. Következtetések

Egy új iteratív sémát építettek fel memóriával, amely képes mind az egyszerű, mind a többszörös gyökér megtalálására (anélkül, hogy ismerni kellene a sokféleségüket). Tudomásunk szerint ez az első ilyen tulajdonságokkal rendelkező módszer a szakirodalomban. Konvergencia-sorrendje körülbelül 1,84, iterációnként két új funkcionális kiértékeléssel; ez adja a sémát az SM1 memória nélküli Schröder-séma hatékonyságának javítására, amely hasonló tulajdonságokkal rendelkezik. Többdimenziós valós diszkrét dinamika és alacsony fokú polinomok egyszerű és többszörös gyökök felhasználásával elemeztük a javasolt séma stabilitását, amely mindkét gyöktípushoz széles konvergenciaterületet mutat.

Az utolsó részben több példán futó Schröder és gTM metódusok arra engedtek következtetni, hogy ha a multiplicitás előre ismert, akkor az SM1 és a gTM nem tud versenyezni, pedig a gTM jobb, mint az SM1. Ha azonban a multiplicitás nem ismert, a javasolt gTM módszer nagyon jó teljesítményt és jobb hatékonyságot mutat, mint az SM1 módszerek a végrehajtási idő, a számítási költség és a vonzási medencék szélessége tekintetében.

A szerző hozzájárulásai:

Koncepció, AC és JRT; módszertan, BN; szoftver, AC és BN; érvényesítés, BN; formális elemzés, JRT; nyomozás, AC; írás – eredeti tervezet előkészítése, AC és BN; írás – áttekintés és szerkesztés, JRT; felügyelet, BN és JRT Minden szerző elolvasta és elfogadta a kézirat közzétett változatát.

Finanszírozás:

Ezt a kutatást a PGC{0}}B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE) részben támogatta.

Tájékozott beleegyező nyilatkozat:

Nem alkalmazható.

Köszönetnyilvánítás:

A szerzők szeretnének köszönetet mondani a névtelen lektoroknak javaslataikért és megjegyzéseikért, amelyek javították a kézirat végleges változatát.

Összeférhetetlenség:

A szerzők nem nyilatkoznak összeférhetetlenségről.

Hivatkozások

1. Petkovi´c, M.; Neta, B.; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Többpontos módszerek nemlineáris egyenletek megoldására; Academic Press: Oxford, Egyesült Királyság, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Advances in Iterative Methods for Nonlinear Equations; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Svájc, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Új, magasabb rendű optimális származékmentes séma több gyökér számára. J. Comput. Appl. Math. 2021, 113773, nyomtatás alatt. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Optimális negyedrendű derivált mentes numerikus algoritmus több gyökhöz. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Optimális nyolcadrendű iteratív függvénycsalád több gyökhöz és annak dinamikája. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Ötödrendű iteratív módszerek családja nemlineáris egyenletek többszörös gyökereinek megtalálására. Szám. Anális. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK A negyedrendű származékmentes módszer hatékony osztálya több gyökér számára. Int. J. Nonlinear Sci. Szám. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Optimális negyedrendű módszercsalád nemlineáris egyenletek többszörös gyökére. Math. Módszerek Alk. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Math. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Az egypontos és többpontos iteráció optimális sorrendje. J. Assoc. Comput. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Nemlineáris egyenletek iteratív megoldása több változóban; Akadémiai Kiadó: Cambridge, MA, USA, 1970.

12. Traub, JF Iteratív módszerek az egyenletek megoldására; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, USA, 1964.

13. Ostrowski, AM Egyenletmegoldások és egyenletrendszerek; Academic Press: New York, NY, USA; London, Egyesült Királyság, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Az iteratív módszerek többdimenziós dinamikus megközelítése memóriával. Appl. Math. Comput. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Bevezetés a kaotikus dinamikus rendszerekbe; Előrelépések a matematikában és a mérnöki tudományban; CRC sajtó: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com